productos notables


Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9


Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9


Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25


Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27


Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27


Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1


Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)


Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)


Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

Funciones

Funciones Matematicas

Las funciones matematicas, en terminos simples, corresponden al
proceso logico comun ue se expresa como “depende de”. Este proceso
logico se aplica a todo lo que tiene relacion a un resultado o efecto
sea este medible o no en forma cuantitativa.

Las funciones matematicas pueden referirse a situaciones cotidianas,
tales como: el valor del consumo mensual de agua potable que
depende del número de metros cúbicos consumidos en el mes; el valor
de un departamento que depende del número de metros cuadrados
construidos; la sombra proyectada por un edificio que depende de la
hora del día; el costo de una llamada telefónica que depende de su
duración; el costo de enviar una encomienda que depende de su peso;
la estatura de un niño que depende de su edad.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la
derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
x -------> x2.

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general
es la letra f (de función). f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 ó f(x) = x2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16 f(a) = a2, etc.

Consideremos algunos ejemplos que constituyen funciones
matemáticas.

A) Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y
su peso expresado en kilos

X Y

Marcela 55
Pablo 88
Sergio 62
Jorge 88
René 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X) constituye lo que se llama la entrada o
variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y) constituye lo que se
llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede
tener dos pesos distintos . Notemos también que es posible que dos personas
diferentes tengan el mismo peso.

B) Correspondencia entre el conjunto de los numero reales (variable independiente)
y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número
más 3".

x -------> 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

X Y
-1 ------------> 1
0 -------------> 3
1 -------------> 5
2 -------------> 7

Estos ejemplos van introduciendo la noción de función: se pretende que todos y cada
uno de los elementos del primer conjunto están asociados a un y sólo a un elemento
del segundo conjunto. Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento
en X sin su correspondiente elemento en Y. Un y sólo a un significa que a un mismo
elemento en X no le puede corresponder dos elementos distintos en Y.

Ahora podemos enunciar la siguiente definición formal:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X
exactamente un elemento, llamado f(x) de un conjunto Y.

Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y
es una regla (o un método) que asigna un (y sólo un) elemento en Y a cada elemento
en X.

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por:


Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.




Representación de funciones

Usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma
y = f(x).
Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

El algebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

Podemos encontrar:

Monomio


Binomio


Trinomio

ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado



Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.


Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28